椭圆-抛物型方程解的一个Harnack不等式

我们旨在证明强退化抛物型或椭圆-抛物型方程解的Harnack型不等式。为此，我们首先定义阶为$p = 2$的De Giorgi类，其包含演化方程$\uprho (x,t) u_t + A u = 0$与$(\uprho (x,t) u)_t + A u = 0$的解，其中$\uprho > 0$几乎处处成立且$A$为合适的椭圆算子。对于属于该类函数，我们证明了一个非齐次抛物型Harnack不等式，即考虑了$\uprho$在$\Omega \times (0,T)$不同区域中均值的Harnack不等式。\ 作为推论，借助逼近结果与精细的极限过渡，我们得到了强退化抛物型方程（即$\uprho \geqslant 0$时）解的Harnack不等式，且在此情形下仅对解成立。\ 作为副产物，获得了第一类方程（即$\uprho (x,t) u_t + A u = 0$）一个子解类的Hölder连续性：特别地，该子解类的解在$\uprho$由正变零的界面处是Hölder连续的。