退化抛物型$p$-Laplacian方程组

本文研究退化抛物组\begin{equation*} \bold{u}_t=\nabla\cdot\left(\left|\nabla\bold{u}\right|^{p-2}\nabla \bold{u}\right), \qquad \qquad \left(p>2\right). \end{equation*}的解$\bold{u}=\left(u^1,\cdots,u^k\right)$的数学性质。更确切地说，我们证明了解$\bold{u}$的唯一性与存在性，并研究了解梯度的先验$L^{\infty}$有界性。假设解在无穷远处快速衰减，我们还证明了分量$u^l$（$\left(1\leq l\leq k\right)$）在空间上随$t\to\infty$收敛于函数$c^l\mathcal{B}$。此处，函数$\mathcal{B}$为$p$-Laplacian方程的基本解或Barenblatt解，常数$c^l$由$u^l$的$L^1$质量决定。证明基于熵泛函的存在性。\ \indent 作为渐近大时间行为的应用，我们建立了一个Harnack型不等式，使得空间平均的大小可由解在一点的值控制。