退化抛物系统的局部连续性与渐近行为

我们研究退化系统 \begin{equation*} u^i_t=\nabla\cdot\left(m\,U^{m-1}\nabla u^i\right) \qquad \text{for $m>1$ and $i=1,\cdots,k$ } \end{equation*} 解 $\mathbf{u}=(u^1,\cdots, u^k)$ 的局部 H"older 连续性与渐近行为，该系统描述了 $k$ 个物种的种群密度，其扩散由它们的总种群密度 $U=u^1+\cdots+u^k$ 决定。对于局部 H"older 连续性，我们采用 DeGiorgi、Moser 和 Dibenedetto 的内蕴尺度与迭代论证。在某些正则性条件下，我们还证明了种群为 $M_i$ 的第 $i$ 个物种的种群密度函数在 $C_s^{\infty}$ 中当 $t\to \infty$ 时收敛于 $\frac{M_i}{M}\mathcal{B}_M(x,t)$，其中 $\mathcal{B}_M$ 是 $L^1$ 质量为 $M=M_1+\cdots+M_k$ 的标准多孔介质方程的 Barenblatt 分布。作为渐近行为的推论，证明了每个密度函数在有限时间后成为凹函数。