多孔介质方程组

我们研究了种群密度向量 $\bold{u}=\left(u^1,\cdots,u^k\right)$ 的演化，其中 $k$ 个物种的扩散由其绝对值 $\left|\bold{u}\right|$ 控制。更精确地，我们研究退化抛物方程组 \begin{equation*} \left(u^i\right)_t=\nabla\cdot\left(\left|\bold{u}\right|^{m-1}\nabla u^i\right) \qquad \mbox{for $m>1$ and $i=1,\cdots,k$}. \end{equation*} 解 $\bold{u}=\left(u^1,\cdots,u^k\right)$ 的性质及长时间渐近行为。在某些正则性假设下，我们证明描述具有种群 $M_i$ 的第 $i$ 个物种种群密度的函数 $u^i$ 在空间上以两种不同方法收敛于 $\frac{M_i}{\left|\bold{M}\right|}\mathcal{B}_{\left|\bold{M}\right|}$，其中 $\mathcal{B}_{\left|\bold{M}\right|}$ 是 $L^1$ 质量为 $\left|\bold{M}\right|=\sqrt{M_1^2+\cdots+M_k^2}$ 的多孔介质方程的 Barenblatt 解。\indent 作为渐近行为的一个应用，我们建立了一个合适的 Harnack 型不等式，使得 $u^i$ 的空间平均可由其在一点的值控制。我们还发现了单向行波型解以及在无穷远处具有行波行为的解的性质。