关于对数奇异扩散方程解的局部行为及其多孔介质型逼近的两个注记

对于对数奇异抛物型方程 $$u_t-\Delta\ln u=0\qquad\text{weakly in}\ \ E\times(0,T],$$ 我们在 $L^1_{loc}$ 拓扑中建立了 Harnack 型估计，并证明了解在空间变量上是局部解析的且在时间上是可微的。主要假设是 $\ln u$ 具有足够高的可积性阶数，即 \begin{equation*} \ln u\in L^\infty_{loc}\big(0,T;L^p_{loc}(E)\big) \quad\text{for some} p\ge1. \end{equation*} 这两个性质对于奇异多孔介质型方程（$0<m<1$）的解是已知的，后者在形式上逼近对数奇异方程。然而，相应的估计在 $m\to0$ 时会恶化。本文表明，只要上述足够高阶的可积性条件成立，这些估计就会变得稳定并传递到 $m\to0$ 的极限情形。随后，该条件成为区分具有幂律奇异性与对数奇异性的抛物型方程解的关键假设，以确保此类解的正则性。