一类超抛物方程的矩阵微分 Harnack 估计

设 $u$ 是超抛物方程 \begin{equation*} \partial_t u=\sum_{i=1}^n \partial_{x_i}^2 u+\sum_{i=1}^k x_i\partial_{x_{n+i}}u \hspace{8mm} \mbox{on} \hspace{4mm} \mathbb{R}^{n+k}\times (0,T), \end{equation*} 的正解，其中 $1\leq k\leq n$ 且 $0<T \leq +\infty$。假设 $u$ 及其关于空间变量的直到二阶的导数在 $(0,T)$ 的任何紧子区间上是有界的。那么，$\log u$ 和 $\log f$ 的 Hessian 矩阵（均关于空间变量）之差 $H(\log u)- H(\log f)$ 是非负定的，其中 $f$ 是上述方程以原点 $(0,0)$ 为极点的基本解。$n=k=1$ 情形下的估计归功于 Hamilton。作为推论，我们得到 $\Delta l+\frac{n+3k}{2t}+\frac{6k}{t^3}\geq 0$，其中 $l=\log u$，且 $\Delta=\sum_{i=1}^{n+k} \partial_{x_i}^2$。