路径空间上的微分 Harnack 不等式

回顾若 $(M^n,g)$ 满足 $\mathrm{Ric}\geq 0$，则 Li-Yau 微分 Harnack 不等式告诉我们，对每个非负 $f:M\to \mathbb{R}^+$，其热流为 $f_t$，有 $\frac{\Delta f_t}{f_t}-\frac{|\nabla f_t|^2}{f_t^2} +\frac{n}{2t}\geq 0.$ 我们的主要结果是将此推广到流形的路径空间 $P_xM$。关键点在于，我们不考虑 $P_xM$ 上的无穷维梯度与拉普拉斯算子，而是考虑一族有限维梯度与拉普拉斯算子。即，对每个 $H^1_0$ 函数 $\varphi:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$，我们将定义 $\varphi$-梯度 $\nabla_\varphi F: P_xM\to T_xM$ 与 $\varphi$-拉普拉斯 $\Delta_\varphi F =\text{tr}_\varphi\mathrm{Hess} F:P_xM\to \mathbb{R}$，其中 $\mathrm{Hess} F$ 为马尔可夫 Hessian，且梯度与 $\varphi$-迹均由在随机平行移动下自然关联于 $\varphi$ 的 $n$ 个向量场诱导。现令 $(M^n,g)$ 满足 $\mathrm{Ric}=0$，则对每个非负 $F:P_xM\to \mathbb{R}^+$ 及每个 $\varphi$，我们将证明不等式 $$\frac{E_x [\Delta_\varphi F]}{E_x [F]}-\frac{E_x [\nabla_\varphi F]^2}{E_x [F]^2} +\frac{n}{2}|| \varphi ||^2\geq 0$$，其中 $E_x$ 表示关于 $P_xM$ 上 Wiener 测度的期望。将其应用于路径空间上最简单的函数，即单变量柱函数 $F(\gamma) \equiv f(\gamma(t))$，我们将精确恢复经典的 Li-Yau Harnack 不等式。我们对 Einstein 流形有类似估计，误差仅依赖于 Einstein 常数；对一般流形亦有类似估计，误差依赖于曲率。最后，我们导出了路径空间 $P_xM$ 上 Hamilton 矩阵 Harnack 不等式的推广。我们的理解是，这些估计即使在 $\mathbb{R}^n$ 的路径空间上也是新的。