微分 Harnack 估计的几何

在这篇短文中，我们旨在为非专家提供关于微分 Harnack 不等式的快速入门，这些不等式在过去几十年中对几何分析和概率论产生了深远影响。在最粗略的层面上，这些通常是针对某些抛物型偏微分方程的“正”解成立的不等式，外观神秘，但可以通过繁琐的计算并应用极大值原理迅速验证。在本文中，我们强调 Harnack 不等式背后的几何，它们通常被证明是关于某些自然对象的凸性断言。作为一个应用，我们解释了如何将 Hamilton 关于$R^{n+1}$中$n$维子流形平均曲率流的微分 Harnack 不等式视为直接源于平均曲率流下凸性的保持这一众所周知的事实，但此次是针对$R^{n+2}$中的$(n+1)$维子流形。我们还简要回顾了导致这些观察的早期工作。