$C^1$与$C^{1,\alpha}$区域中非局部椭圆方程的边界正则性估计

我们针对$\Omega$内$Lu=f$、$\Omega^c$内$u=0$形式的非局部问题，在$C^1$和$C^{1,\alpha}$区域中建立了精确的边界正则性估计。此处，$L$是阶为$2s$的非局部椭圆算子，其中$s\in(0,1)$。首先，在$C^{1,\alpha}$区域中，我们证明所有解$u$在边界处为$C^s$，且$u/d^s\in C^\alpha(\bar\Omega)$，其中$d$为到$\partial\Omega$的距离。在$C^1$区域中，解通常不与$d^s$可比，我们在此类区域中证明了边界Harnack原理。即，我们证明若$u_1$和$u_2$是正解，则$u_1/u_2$有界且在边界处为H\"older连续。最后，我们对具有有界可测系数的非散度形式非局部方程建立了类似结果。所有这些正则性结果将是后续关于非局部椭圆算子自由边界问题工作的重要工具\cite{CRS-obstacle}。