调和函数梯度在硬朗度为2处的小性传播

设$u$为单位球$B_1\subset\mathbb{R}^n$中的调和函数，规范化后其梯度在单位球上的大小至多为1。若$u$的梯度在$B_{1/2}$中的某个集合$E\subset B_{1/2}$上$\epsilon$小，且具有正的$(n-2+\delta)$维Hausdorff content，其中$\delta>0$，则$\sup_{B_{1/2}}|\nabla u|\leq C\epsilon^\alpha$，其中$C,\alpha>0$仅取决于$n$, $\delta$以及$E$的$(n-2+\delta)$-Hausdorff content。这一结果改进了Logunov和Malinnikova类似的结果，后者要求$\delta>1-c_n$（其中$c_n$为小维数常数），并触及了从哪些硬朗度为2的小性集合可发生小性传播的临界维数。