高维矩量线性条件下的热方程

我们考虑 N 维立方体 (0,1)^N 上的热方程，并施加不同类别的积分条件，而非通常的边界条件。在守恒零阶矩和一阶矩的条件下，热方程的适定性结果此前仅在 N=1 的情况下已知——此时这些条件可以很容易地解释为质量守恒和重心守恒。在本文中，我们证明，在适当放宽解的概念后，对于一般的 N，带有此类积分条件的热方程仍然是适定的。通过引入拉普拉斯算子的两个适当实现，并利用形式方法验证它们生成解析半群，我们证明了在 (0,1)^N 上一个合适的分布空间中，具有一般初始数据的解的存在性和唯一性。然而，如此获得的解仅在某种分布意义下满足热方程。不过，事实证明，其中一个实现与算子理论中一个众所周知的对象——拉普拉斯算子的 Krein-von Neumann 扩张——密切相关。这种联系也确立了在经典意义下的适定性，只要初始数据是 L^2 函数。