从一维热方程的内控制到点控制及最小控制时间

我们的目标是研究一维热方程在内部控制（或观测）集 $\omega_{\varepsilon}=(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon )$ 下、在极限 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时的可控性与可观测性性质，其中 $x_{0}\in (0,1)$。已知根据 $x_{0}$ 的算术性质，热方程在 $x_{0}$ 处的点控制可能存在最小时间 $T_{0}$。此外，对任意固定的 $\varepsilon$，热方程在任意时间 $T>0$ 下以控制集 $\omega_{\varepsilon}$ 可控。我们将这两种现象联系起来。我们证明当 $T>T_{0}$（此时可观测常数与 $\varepsilon^{1/2}$ 相当）或 $T<T_{0}$（此时可观测常数更快收敛到 $0$）时，$\omega_\varepsilon$ 上的可观测常数随 $\varepsilon\rightarrow 0$ 的收敛速度不同。我们还描述了在极限 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时 $\omega_{\varepsilon}$ 上最优 $L^{2}$ 零控制的行为。