半平面中由 Neumann 边界条件与逐点控制的热方程控制问题

本文研究了控制系统 $w_t=\Delta w$, $w_{x_1}(0,x_2,t)=u(t)\delta(x_2)$, $x_1>0$, $x_2\in\mathbb R$, $t\in(0,T)$ 的可控性与近似可控性问题，其中 $u\in L^\infty(0,T)$ 为控制。为此，我们研究了其从 $0$ 可达的终态集合 $\mathcal{R}_T(0)\subset L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$。我们证明了函数 $f\in\mathcal{R}_T(0)$ 可以在 $(0,+\infty)\times\mathbb R$ 中几乎处处表示为 $f(x)=g\big(|x|^2\big)$ 的形式，其中 $g\in L^2(0,+\infty)$。实际上，我们将处理 $L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ 中函数的问题转化为处理 $L^2(0,+\infty)$ 中函数的问题。在给定时间 $T$ 内，在受给定常数限制的控制 $u$ 下，我们以 Markov 幂矩问题的可解性形式，获得了可控性的充分必要条件以及近似可控性的充分条件。利用 Laguerre 函数（构成 $L^2(0,+\infty)$ 的标准正交基），我们得到了近似可控性的充分必要条件以及近似可控性问题的数值解。此外还证明了，在给定时间 $T$ 内不存在零可控的初始状态。结果通过一个例子进行了说明。