基于最小二乘方法逼近半线性热方程的零控制

半线性热方程 $y_t-\Delta y + g(y)=f \,1_{\omega}$ 的零分布可控性，在假设 $g$ 满足增长条件 $g(s)/(\vert s\vert \log^{3/2}(1+\vert s\vert))\rightarrow 0$（当 $\vert s\vert \rightarrow \infty$）且 $g^\prime\in L^\infty_{loc}(\mathbb{R})$ 时，已由 Fernández-Cara 和 Zuazua 于 2000 年得到。基于不动点论证的证明利用了线性化热方程可观测性常数的精确估计，然而其并未给出零控制的显式构造。假设 $g^\prime\in W^{s,\infty}(\mathbb{R})$（对某个 $s\in (0,1]$），我们构造了一个显式序列，强收敛于半线性方程解的零控制。该方法基于最小二乘途径，推广了牛顿型方法，并保证无论序列的初始元素如何均收敛。特别地，在有限次迭代后，收敛为超线性，速率为 $1+s$。一维情形下的数值实验支持我们的分析。