半线性一维热方程的构造性精确控制

半线性热方程 $\partial_{t}y-\Delta y + g(y)=f \,1_{\omega}$ 在多维有界域上、假设 $g\in C^1(\mathbb{R})$ 满足增长条件 $\limsup_{r\to \infty} g(r)/(\vert r\vert \ln^{3/2}\vert r\vert)=0$ 的精确分布可控性已由 Fernández-Cara 和 Zuazua 于 2000 年得到。该基于非构造性不动点论证的证明利用了线性化热方程可观测性常数的精确估计。在一维情形下,假设 $g^\prime$ 在无穷远处增长不快于 $\beta \ln^{3/2}\vert r\vert$(其中 $\beta>0$ 足够小),且 $g^\prime$ 在 $\mathbb{R}$ 上以指数 $p\in [0,1]$ 一致 Hölder 连续,我们设计了一个构造性证明,给出收敛到半线性方程受控解的显式序列,在有限次迭代后以至少 $1+p$ 阶收敛。