微超线性热方程的全局零能控性与非负能控性

我们考虑定义在 R^N 中光滑有界区域 Ω 上的半线性热方程，具有 Dirichlet 或 Neumann 边界条件。控制输入是局域化于 Ω 的任意非空开子集 ω 中的源项。本文的目标是证明对于半线性项 f(s) = ± |s| log^{α}(2+|s|)（其中 α ∈ [3/2,2)）的均匀大时间全局零能控性，这是 Enrique Fernandez-Cara 与 Enrique Zuazua 在 2000 年遗留的开放情形。值得指出的是，自由解（无控制）可能发生爆破。首先，我们建立系统的小时间全局非负能控性（相应地，非正能控性），即可以将任意初值于任意时间内驱动至非负（相应地，非正）状态。特别地，人们可借助控制项进行局部作用以防止爆破发生。证明依赖于带界势 a(t,x) 的线性热方程的精确可观测性估计。更确切地说，我们证明对于非负初值，可观测性以 exp(C |a|_{∞}^{1/2}) 量级的尖锐常数成立。该不等式源于一个新的 L^1 Carleman 估计。Kakutani 不动点论证使我们得以回到半线性热方程。其次，均匀大时间零能控性结果源于三个要素：全局非负能控性、自由解与底层常微分方程解之间的比较原理（其给出自由解在 L^{∞}(Ω) 范数下收敛于 0），以及半线性热方程的局部零能控性。