关于半线性波动方程的精确边界能控性

我们研究定义在 $\mathbb{R}^d$ 中有界域 $\Omega$ 上的半线性波动方程 $\partial_{tt}y-\Delta y + f(y)=0$ 的精确边界能控性。假设 $f$ 连续且满足对某些足够小的 $\beta$ 和某些 $p\in [0,3/2)$ 的条件 $\limsup_{\vert r\vert\to \infty} \vert f(r)\vert /(\vert r\vert \ln^p\vert r\vert)\leq \beta$，我们应用 Schauder 不动点定理证明了对 $L^2(\Omega)\times H^{-1}(\Omega)$ 中初始数据的均匀能控性。进而，假设 $f$ 属于 $\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ 且满足条件 $\limsup_{\vert r\vert\to \infty} \vert f^\prime(r)\vert/\ln^p\vert r\vert\leq \beta$，我们应用 Banach 不动点定理并给出收敛到半线性方程状态-控制对的强收敛序列。