半线性波动方程精确能控性的构造性证明

Fu、Yong 和 Zhang 于 2007 年获得了定义在多维有界域上的半线性波动方程 $\partial_{tt}y-\Delta y + g(y)=f \,1_{\omega}$ 的精确分布能控性，假设 $g\in C^1(\mathbb{R})$ 满足增长条件 $\limsup_{r\to \infty} g(r)/(\vert r\vert \ln^{1/2}\vert r\vert)=0$。该证明基于非构造性的 Leray-Schauder 不动点定理，利用了线性化波动方程可观测性常数的精确估计。假设 $g^\prime$ 在无穷远处的增长不超过 $\beta \ln^{1/2}\vert r\vert$（其中 $\beta>0$ 足够小），且 $g^\prime$ 在 $\mathbb{R}$ 上以指数 $s\in (0,1]$ 一致 Hölder 连续，我们设计了一个构造性证明，给出收敛到半线性方程受控解的显式序列，在有限次迭代后以至少 $1+s$ 阶收敛。