反应扩散系统围绕非负稳态的局部能控性

我们考虑一个定义在 $\mathbb{R}^N$ 中光滑有界域 $\Omega$ 上的 $n \times n$ 非线性反应扩散系统。该系统模拟可逆化学反应。我们通过 $m$ 个控制（$1 \leq m < n$）作用于系统，这些控制局域化于域 $\Omega$ 的某个任意非空开子集 $\omega$ 中。我们证明了在任意时间 $T >0$ 内到非负（常数）稳态的局部精确能控性。该控制系统的一个特性是非线性动力学中存在某些不变量，阻碍了在整个空间 $L^\infty(\Omega)^n$ 中实现能控性。证明依赖于几个要素。首先，一个适当的仿射变量变换将系统转化为具有二阶耦合项的级联系统。其次，借助于 David Jerison、Gilles Lebeau 和 Luc Robbiano 提出的 Neumann Laplacian 算子本征函数有限和的谱不等式，以及对一族有限维系统的精确可观测性不等式，我们建立了线性化系统的新的零能控性结果。第三，在 $L^{\infty}$ 背景下重新审视了由 Yuning Liu、Tak\'eo Takahashi 和 Marius Tucsnak 引入的源项方法。最后，一个适当的逆映射定理使得能够回到非线性反应扩散系统。