具有非线性耦合的双物种反应扩散系统的零能控性：一种新对偶方法

我们考虑定义在光滑有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 1$) 上的 $2\times2$ 非线性反应扩散系统。控制输入仅出现在其中一个方程的源项中，并局部化于域 $\Omega$ 的任意非空开子集 $\omega$ 内。首先，当第二个方程中的耦合项为奇次幂时，我们证明了一个全局零能控结果。由于系统在零附近的线性化系统不可零能控，通常策略是使用 Jean-Michel Coron 引入的回归法或幂级数展开法。本文给出一种直接的非线性证明，其依赖于我们称之为自反唯一性方法的一种新对偶方法。它是 Jacques-Louis Lions 引入的著名希尔伯特唯一性方法在自反巴拿赫空间中的变体，基于从 $L^2$ 中通常的 Carleman 不等式与抛物正则性论证得到的 $L^p$ ($2 \leq p < \infty$) 中的 Carleman 估计。该策略使我们能找到热方程的一个控制，它是正则函数的奇次幂。该方法的另一优势是为小初值产生小控制。其次，借助回归法，我们还证明了更一般非线性反应扩散系统的零能控结果，其中第二个方程中的耦合项在零处表现为奇次幂。