具有非矩形控制集的广义二维 Baouendi-Grushin 方程的零能控性

我们考虑矩形区域上广义 Baouendi-Grushin 方程 $(\partial_t - \partial_x^2 - q(x)^2\partial_y^2)f = 1_\omega u$ 的零能控问题。当控制域 $\omega$ 为竖直条带或 $q(x) = x$ 时,已有精确的能控性结果。在本文中,我们针对一般的 $q$ 和非矩形控制区域 $\omega$ 给出了零能控最小时间的上下界。在某些 $\omega$ 的几何构型下,上界与下界相等,此时我们可知零能控最小时间的精确值。我们的证明依赖于若干工具:当 $\omega$ 为竖直条带时的已知结果以及用于零能控最小时间上界的截断论证;当 $\Re(\nu)>0$ 时 Schr\"odinger 算子 $-\partial_x^2 + \nu^2 q(x)^2$ 的谱分析、多项式上的伪微分型算子以及用于下界的 Runge 定理。