抛物球面 Baouendi-Grushin 方程零能控的最短时间

我们研究赋予典范近黎曼结构的 $\mathbb{S}^{2}$ 上抛物方程的零能控性。对于球冠 $\omega=\{\alpha<x_3<\beta\}$，其中 $0\le \alpha<\beta\le1$，我们证明了在 $\omega$ 中零能控的精确最短时间公式 $T_{\min}(\omega)=\ln(1/\sqrt{1-\alpha^{2}})$。我们还证明，只要控制区域包含赤道，零能控性在任何正时间内均成立。证明结合了两种互补工具。首先，对周期变量进行 Fourier 分解后，我们建立了一族一维奇异抛物方程的能观性估计，且常数关于 Fourier 模是一致的；极点处的奇异性通过 Hardy-Poincaré 不等式处理。其次，对于远离赤道的球冠，我们利用矩方法，基于相关 Legendre 函数的精确加权下界，在触及极点的球冠 $\alpha<x_3< 1$ 上构造控制，然后通过对全区域的截断论证结合包含赤道球冠的任意时间能控性，过渡到一般球冠 $\alpha<x_3<\beta$。该结果填补了早期工作中遗留的大时间间隙，给出了 $\mathbb S^2$ 上典范近黎曼热方程的精确零能控阈值。