二维 Grushin 型算子的零能控性

我们研究了与 Grushin 型算子 $A=\partial_x^2+|x|^{2\gamma}\partial_y^2\,, (\gamma>0),$ 在矩形区域 $\Omega=(-1,1)\times(0,1)$ 中关联的抛物型方程的零能控性，该方程受限于位于带状区域 $\omega=(a,b)\times(0,1)\,, (0<a,b<1)$ 的加性控制。我们证明了当 $\gamma<1$ 时，该方程在任意正时间内均是零能控的；而当 $\gamma>1$ 时，则不然。在过渡情形 $\gamma=1$ 中，我们表明这两种行为共存：零能控性需要一个正的最小时间。我们的方法基于以下事实：得益于特定的几何构型，零能控性等价于伴随系统解的傅里叶分量关于频率一致可观测。