具有内部退化与单侧控制的抛物方程零能控性

对于$\alpha\in (0,2)$，我们研究抛物算子$$Pu= u_t - (\vert x \vert ^\alpha u_x)_x\qquad (1<x<1)$$的零能控性，该算子在内部点$x=0$处退化，局部分布控制仅作用于原点的一侧（即某个区间$(a,b)$，其中$0<a<b<1$）。我们的主要结果保证：P零能控当且仅当其为弱退化，即$\alpha \in (0,1)$。因此，在强退化情形$\alpha\in [1,2)$下，要将系统控制到零，需要控制作用于退化点两侧。我们的方法基于谱分析与矩方法。事实上，我们完全用贝塞尔函数及其零点描述了关联定常算子在弱退化与强退化问题下的特征值与特征函数。从而，我们在$\alpha \in [0,1)$情形下获得控制区域上特征函数的下界$L^2$估计，并推导出$\alpha \in [1,2)$情形下可观测性的缺失。我们还提供了数值证据以说明理论结果。