退化双曲方程的双线性控制

我们考虑区间$(0, 1)$上的线性退化波动方程 $$w_{tt} - (x^\alpha w_x)_x = p(t) \mu (x) w,$$ 具有双线性控制$p$与Neumann边界条件。我们研究该非线性控制系统在常数参考轨迹（基态）附近的局部能控性。我们证明，关于$\mu$一般地，任何在$H^3\times H^2$拓扑（适当适配底层退化算子）中接近基态的目标，都可在时间$T > \frac{4}{2-\alpha}$内由$L^2((0, T ),\mathbb R)$中的控制达到。在对$\mu$的某些经典且一般的假设下，我们证明存在时间阈值$T_0= \frac{4}{2-\alpha}$，使得可达集为：若$T>T_0$则为基态的邻域；若$T<T_0$则包含于无限余维的$C^1$子流形中；若$T=T_0$，当$\alpha \in [0,1)$时为余维$1$的$C^1$子流形，当$\alpha \in (1,2)$时为基态的邻域，而$\alpha =1$的情形仍待解决。这将文献[K. Beauchard, Local controllability and non-controllability for a 1D wave equation with bilinear control. J. Differential Equations, 250(4), 2064-2098, 2011]关于经典波动方程（$\alpha =0$）双线性控制的工作推广至退化情形，并将文献[F. Alabau-Boussouira, P. Cannarsa, and G. Leugering. Control and stabilization of degenerate wave equations. SIAM J. Control Optim., 55(3), 2052-2087, 2017]中考虑加性控制的退化波动方程工作适配于双线性控制。我们的证明基于对谱问题的细致分析以及Ingham型结果，后者是Kadec的$\frac{1}{4}$定理的推广。