退化抛物方程通过双线性控制的超指数可稳定性

本文旨在证明形如 \begin{equation*} u_t(t,x)+(x^{\alpha}u_x(t,x))_x+p(t)x^{2-\alpha}u(t,x)=0,\qquad t\geq0,x\in(0,1) \end{equation*} 的退化抛物方程通过双线性控制 $p\in L_{loc}^2(0,+\infty)$ 对基态解的超指数可稳定性。更确切地说，我们给出一个控制函数 $p$，其在短时间内以双指数收敛速率将方程的解 $u$ 导向基态解。\ 参数 $\alpha$ 描述退化程度。特别地，对于 $\alpha\in[0,1)$ 问题称为弱退化，而对于 $\alpha\in[1,2)$ 发生强退化。我们能够对 $\alpha\in [0,3/2)$ 证明上述稳定性质。证明依赖于将关于双线性控制作用下抛物演化方程快速可稳定性的抽象结果应用于此。贝塞尔函数也起到了关键作用。