控制强退化抛物方程的成本

我们考虑典型的一维强退化抛物算子 $Pu= u_t - (x^\alpha u_x)_x$，其中 $0<x<\ell$ 且 $\alpha\in(0,2)$，由作用于 $x=\ell$ 的边界控制或局部分布控制进行控制。我们的主要目标是研究将初始条件驱动至静止所需的可控性成本(所谓控制成本)相对于退化参数 $\alpha$ 的依赖关系。我们证明当 $\alpha \to 2^-$ 和/或 $T\to 0^+$ 时，控制成本以显式指数率 $e^{C/((2-\alpha)^2 T)}$ 发散。我们的分析建立在早期结果和方法(基于泛函分析与复分析技术)之上，这些由 Fattorini-Russel、Seidman、Güichal、Tenenbaum-Tucsnak 和 Lissy 等学者针对经典热方程所发展。特别地，我们使用矩方法及相关合适双正交族的构造，以及大阶 $\nu$ 贝塞尔函数 $J_\nu$ 的新的精细性质(由常微分方程技术获得)。