欧几里得三维空间中的稳态等温面

设$\Omega$为$\mathbb R^3$中的一个区域，满足$\partial\Omega = \partial\left(\mathbb R^3\setminus \overline{\Omega}\right)$，其中$\partial\Omega$无界且连通，并设$u$为$\mathbb R^3$上热方程$\partial_t u= \Delta u$柯西问题的解，其初始数据为集合$\Omega^c = \mathbb R^3\setminus \Omega$的特征函数。我们证明，如果存在$u$的一个稳态等温面$\Gamma$且满足$\Gamma \cap \partial\Omega = \varnothing$，那么$\partial\Omega$和$\Gamma$必须要么是平行平面，要么是同轴圆柱面。该定理完成了$\Gamma\cap\partial\Omega=\varnothing$且$\partial\Omega$无界情形下稳态等温面的分类。为了证明这一结果，我们为$\mathbb R^3$中的{\it 均匀稠密区域}建立了一个类似的定理，这一概念由 Magnanini、Prajapat 和 Sakaguchi 在\cite{MPS2006tams}中引入。在证明中，我们使用了常平均曲率曲面理论的方法，结合了对某些渐近展开的仔细分析，以及与横截函数理论的一个惊人联系。