具有Robin边界条件的热绝缘优化问题

我们研究有界物体 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 的热绝缘。在给定热源 $f\geq 0$ 下，我们考虑由对流决定的 $\Omega$ 与环境间传热模型；这对应于绝缘前的Robin边界条件。随后物体被厚度大小为 $\varepsilon>0$ 的绝缘层包围，其电导率也正比于 $\varepsilon$。这对应于少量绝缘材质、具有极佳绝缘特性的情形。接着我们计算能量泛函 $F_\varepsilon$ 的 $\Gamma$-极限，并证明其为泛函 $F$，其极小元仍满足椭圆PDEs系统，具有依赖于 $\Omega$ 周围绝缘层分布的非均匀Robin边界条件。第二步，我们在固定质量绝缘层所有可行分布中研究热含量（衡量绝缘优劣）的最大化，并基于几何性质证明最优上界。最终我们证明一个猜想：被均匀绝缘层包围的球使热含量最大化。