热点及其他极值点的位置

在欧氏空间的一个区域中，我们给出具有齐次Dirichlet边界值的椭圆与抛物方程解之全局最大值点到边界距离的下界估计。作为参考情形，我们首先考虑杆的扭转刚度函数、振动膜的第一模态，以及边界接地为零的热导体温度。我们的主要结果针对具有平均凸边界的区域给出，并将该距离与相应区域的内切半径进行比较。对于扭转刚度函数，所得界仅依赖于空间维数。也考虑了边界非平均凸的更一般情形。然而，估计还依赖于某些几何量，如相应区域的最大外切球直径与半径，或边界平均曲率的最小值。同样在第一模态的情形下，相关界仅依赖于空间维数。而且，它大幅改进了第一作者与合著者早先对凸区域所得的一个估计。与温度相关的界依赖于时间与温度的初始分布。这样的界与在平稳情形中所获者大体一致。所采用的方法基于基本论证与已有文献，并可推广至涉及拟线性方程（各向同性与各向异性）及某些半线性方程类的其他情形。