几何热流方程分析：具备收敛保证的实时测量测地线

我们对称为几何热流方程用于计算测地线（极大曲线）的收敛性进行了分析。实时数值计算测地线已成为多个领域的重要能力，包括控制与运动规划。几何热流方程涉及求解其解为测地线的抛物型偏微分方程。实际中，可高效地对该PDE进行数值求解，且往往在数值稳定性和收敛速率方面表现更佳。我们证明，如果黎曼流形的曲率不超过正数上界，则几何热流方程在$L_2$范数下指数稳定；且总是保证$L_2$下的渐近收敛。我们还提出一种伪谱方法，利用切比雪夫多项式准确计算测地线，仅需几毫秒即可处理非人为制造的流形。我们的分析通过我们自定义的伪谱方法得到验证——在常见非欧几里得曲面上计算测地线，并用于具有非平坦度量的非线性系统的收缩型控制器反馈中。