海森堡群中Kohn-Laplace算子的第一特征值

在本文中，通过推广海森堡群中调和移植与调和半径的概念，我们给出了以下Dirichlet问题第一特征值的上界：$$(P_{\Omega}) \left\{ \begin{array}{lllll} -\Delta_{\mathbb{H}^1} u & = & \lambda u & \mbox{in} & \Omega u & = & 0 & \mbox{on} & \partial \Omega, \end{array} \right.$$其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{H}^1$ 中具有光滑边界的正则有界域，$\Delta_{\mathbb{H}^1}$ 是Kohn-Laplace算子。利用P.Pansu给出的 $\Omega$ 的体积与其边界周长之间的关系，我们证明如下不等式 $$\lambda_{1}( \Omega ) \leq C_{\Omega} \displaystyle \frac{ l_{11}^2 }{ \displaystyle \max_{ \xi \in \Omega } r_{\Omega}^2(\xi)}$$ 其中 $l_{11}$ 是一类一阶贝塞尔函数的第一个严格正零点，$C_{\Omega}$ 是依赖于 $\Omega$ 的常数，$r_{\Omega}(\xi)$ 是 $\Omega$ 在点 $\xi$ 处的调和半径。