关于单测量反演电导率问题的重构

我们考虑占据 $\Bbb R^2$ 中区域 $\Omega$ 的导电材料的反问题。设 $\gamma$ 为 $\Omega$ 的电导率，$D$ 为 $\Omega$ 的子域。我们假设 $\gamma$ 在 $D$ 上为正常数 $k$，$k\not=1$，在 $\Omega\setminus D$ 上为 $1$；$D$ 与 $k$ 均未知。问题是从方程 $\nabla\cdot\gamma\nabla u=0$ 在 $\Omega$ 中的非常数解 $u$ 在 $\partial\Omega$ 上的 Cauchy 数据求出 $D$ 的重构公式。我们证明，若已知 $D$ 为凸多边形且满足 $\text{diam}\,D<\text{dist}\,(D,\partial\Omega)$，则存在两个由 Cauchy 数据计算 $D$ 的支撑函数的公式。