维度 $n\ge 3$ 下由功率密度反演各向异性电导率

我们研究了从形式为 $\nabla u\cdot\gamma\nabla u$ 的内部泛函重构完全各向异性电导率张量 $\gamma$ 的问题，其中 $u$ 在具有给定 Dirichlet 边界条件的有界域 $X$ 上满足 $\nabla\cdot(\gamma\nabla u) = 0$。这项工作受混合医学成像方法的启发，涵盖了 $n\ge 3$ 的情形，继之前发表的 $n=2$ 情形 \cite{Monard2011} 之后。在已知足够多的此类泛函的情况下，并将 $\gamma$ 写为 $\gamma = \tau \tilde \gamma$（其中 $\det \tilde\gamma = 1$，$\tau$ 为正标量函数），我们证明了 $\gamma$ 的所有部分都可以显式且局部地重构，其中 $\tau$ 没有尺度损失，而各向异性结构 $\tilde\gamma$ 损失一阶导数。所提出的重构算法要求泛函或其对应解满足秩最大化条件，我们讨论了确保 $\C^{1,\alpha}$ 光滑张量（$0<\alpha<1$）满足这些条件的不同可能方法。