二维空间中基于电流密度的各向异性电导率成像

我们考虑从多个内部电流密度 $\mathcal{J}=\gamma\nabla u$ 的知识中对各向异性电导率张量 $\gamma=(\gamma_{ij})_{1\leq i,j\leq 2}$ 进行成像，其中 $u$ 在有界域 $X\subset\mathbb{R}^2$ 上满足二阶椭圆方程 $\nabla\cdot(\gamma\nabla u)=0$，并在 $\partial X$ 上具有 prescribed 边界条件。我们证明了可以从四个精心选择的泛函 $\mathcal{J}$ 唯一重构 $\gamma$，并且数据中的噪声在重构过程中被微分一次。该反演过程是局部的，意味着可以从 $x$ 附近的泛函 $\mathcal{J}$ 的知识中重构张量 $\gamma(x)$ 的（大部分）内容。我们利用复几何光学 (CGO) 解技术，获得了 $\partial X$ 上一组保证稳定重构的边界条件的开集存在性。我们在多个数值模拟中展示了显式反演过程，证明了边界条件选择对重构稳定性的影响。该问题在称为电流密度成像或磁共振电阻抗断层成像的医学成像模式中有应用。