平面双连通域的逆 Faber-Krahn 不等式

我们证明，在所有满足 $|\partial \Omega_{\rm{out}}|_1^2 - |\partial \Omega_{\rm{in}}|_1^2 = 4\pi |\Omega|$ 条件的双连通平面弹性支撑膜 $\Omega$ 中，同心圆环膜具有最大基本频率。弹性常数 $h_{\rm{in}}$, $h_{\rm{out}}$ 在 $\partial \Omega_{\rm{in}}$, $\partial \Omega_{\rm{out}}$ 上分别取值，满足 $h_{\rm{in}} \cdot h_{\rm{out}} \geq 0$，可为负值或 $+\infty$，后者意味着膜在相应边界部分被固定。我们的研究扩展并统一了文献中已有结果。当 $h_{\rm{in}} \cdot h_{\rm{out}} = 0$ 时，采用 Payne & Weinberger 式的内侧平行方法证明，所需关于 $\Omega$ 的假设较为宽松。对于 $h_{\rm{in}} \cdot h_{\rm{out}} > 0$ 的情况，我们构建所谓 ``无效切割'' 的构造，描述为第一特征函数的梯度流。该概念由 Weinberger 引入，Hersch 在固定边界情形下使用，我们也对其进行了修订。