平行体的 Cutche 常数的单调性

我们证明，对每个平面凸集 $\Omega$，函数 $t\in (-r(\Omega),+\infty)\longmapsto \sqrt{|\Omega_t|}h(\Omega_t)$ 均为单调递减，其中 $r$、$|\cdot|$ 和 $h$ 分别代表内半径、测度与 Cutche 常数，$(\Omega_t)$ 为 $\Omega$ 的平行体。若取消凸性假设，该结论不再成立。我们还证明了映射 $t\longmapsto h(\Omega_t)$ 在任意维数下都具有可微性，且无需对 $\Omega$ 作任何规整性假设，进而得到该导数的显式公式。随后将这些结果组合，获得 Cutche 集接触面的估计。最后，我们探讨了对诸如第一 Dirichlet 拉普拉斯特征值的函数进行类似推广的可能性。