关于一类极小凸分割的蜂巢猜想

我们证明，对于一大类最优分割问题，平面六边形蜂巢是渐近最优的；在此类问题中，假设胞腔为凸的，且判定准则是最小化各胞腔能量之和或其中的最大值，其代价为满足若干假设的形状泛函 $F$。这些假设包括：包含关系下的单调性；伸缩变换下的齐次性；凸六边形的 Faber-Krahn 不等式；以及将给定面积下凸 $n$ 边形中 $F$ 的极小化子与每个 $n \in \mathbb{N}$ 相关联的映射的凸性型不等式。特别地，我们的结果使得对于 Cheeger 常数和对数容量的蜂巢猜想得以成立（仍假设胞腔为凸的）。此外我们表明，为了使该猜想对 Laplace 算子的第一 Dirichlet 特征值也成立，只需确立关于 $\lambda_1$ 在具有给定面积的凸五边形、六边形和七边形中行为的一些事实即可。