关于反向 Faber-Krahn 不等式

Payne-Weinberger 证明了“在面积为 $A$、内部边界自由而外边界长度固定为 $L_0$ 的膜类中，同心环域 $\Omega^\#$ 具有最高的基频”，其中 $\Omega^\#$ 是与 $\Omega$ 面积相同且与 $L_0$ 外边界长度相同的同心环域。我们在附加外边界为球面的假设下，将这一结果推广到高维区域及 $p\in (1,\infty)$ 的 $p$-Laplacian。作为应用，我们证明了球与同心环域上 $p$-Laplacian（具混合边界条件）的第二特征函数的节点集不可能是同心球面。