Robin拉普拉斯算子前两个特征值之比的上界估计

Payne、Pólya和Weinberger（1956年）提出的著名猜想指出，对于固定薄膜问题，前两个特征值之比 $\lambda_2/\lambda_1$ 在圆盘上达到最大。该猜想的一个更一般的维度版本后来由Ashbaugh和Benguria在20世纪90年代解决。对于Robin拉普拉斯算子，Payne和Schaefer（2001年）提出了一个类似的猜想，假设对于边界参数 $\sigma$ 的某个范围，比值 $\mu_2/\mu_1$ 也在圆盘上达到最大。该猜想后来由Henrot在2003年重述。在本工作中，我们在某些合适的条件下，对所有维度 $N\geq2$ 和所有 $\sigma>0$ 证实了这一猜想。此外，我们证明了 $\mu_2/\mu_1$ 的最大值在整个区间 $(0,+\infty)$ 上关于 $\sigma$ 严格递减。我们的结果为Yau问题77的一个变体提供了肯定的答案：通过测量前两个特征频率的比值，可以确定一个弹性支撑的鼓是否为圆形。