非局部椭圆方程共振问题的可解性

本文考虑如下问题：$$\quad \left\{ \begin{array}{lr} \quad (-\Delta)^s u = \alpha u^+ -\beta u^{-} + f(u) + h \; \text{in}\;\Omega \quad \quad \quad \quad u =0 \; \text{on}\; \mathbb{R}^n\setminus \Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 是具有 Lipschitz 边界的有界区域，$n> 2s$，$0<s<1$，$(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$，$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是有界连续函数，$h\in L^2(\Omega)$。我们在两种情形下证明存在性结果：第一，非共振情形，其中 $(\alpha,\beta)$ 不是 Fučík 谱的元素；第二，共振情形，其中 $(\alpha,\beta)$ 是 Fučík 谱的元素。我们的存在性结果作为鞍点定理的应用而得到。它将一些为 Laplace 算子熟知的结果推广到了非局部算子。