关于非局部椭圆算子的 Fu\v{c}ik 谱

本文研究了分数阶 Laplace 算子的 Fu\v{c}ik 谱，该谱定义为所有使得以下方程组存在非平凡解 $u$ 的 $(\al,\ba)\in \mb R^2$ 集合：\begin{equation*} \quad \left. \begin{array}{lr} \quad (-\De)^s u = \al u^{+} - \ba u^{-} \; \text{in}\; \Om \quad \quad \quad \quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om.\ \end{array} \quad \right\} \end{equation*} 其中 $\Om$ 是 $\mb R^n$ 中具有 Lipschitz 边界的有界区域，$n>2s$，$s\in(0,1)$。本文研究了该谱的第一条非平凡曲线 $\mc C$ 的存在性，以及该曲线 $\mc C$ 的若干性质，例如 Lipschitz 连续性、严格单调递减性及渐近行为。此外，还获得了分数阶特征值问题第二特征值的变分刻画。最后，我们研究了关于 Fu\v{c}ik 谱的非共振问题。