关于波动算子的 Fu\v{c}ik 谱及一个渐近线性问题

我们研究非线性波动方程 $$u_{tt}-u_{ss}=au^+-bu^-+p(s,t,u),$$ 的广义解，其中 $t$ 满足周期性条件，$s$ 满足齐次 Dirichlet 条件，并假设周期与区间长度之比为二。当 $p\equiv 0$ 且 $\lambda$ 是波动算子的非零特征值时，我们证明了在 Fu\v{c}ik 谱中存在两族曲线（可能重合）相交于 $(\lambda,\lambda)$。这一结果对于某些类自伴算子（未涵盖此处考虑的情形）是已知的，但区域比我们的更小。我们的方法基于对偶变分公式，也适用于其他算子，如 Laplacian。此外，当点对 $(a,b)$ 不在经过 $(\lambda,\lambda)\neq(0,0)$ 的 Fu\v{c}ik 曲线“之间”，且 $p$ 是一个在无穷远处次线性的连续函数时，我们证明了非齐次情形下的存在性结果。