混合边界条件下混合算子的谱性质

本文描述了混合算子的谱性质，确切地说，是在混合边界条件下经典 Laplace 算子与分数阶 Laplace 算子的叠加，即 \begin{equation} \label{1} \left\{\begin{split} \mathcal{L}u\: &= \lambda u,~~\text{in} ~\Omega, u&=0~~~~~\text{in} ~~{U^c}, \mathcal{N}_s(u)&=0 ~~~~~\text{in} ~~{\mathcal{N}}, \frac{\partial u}{\partial \nu}&=0 ~~~~~\text{in}~~ \partial \Omega \cap \overline{\mathcal{N}}, \end{split} \right.\tag{$P_\lambda$} \end{equation} 其中 $U= (\Omega \cup {\mathcal{N}} \cup (\partial\Omega\cap\overline{\mathcal{N}}))$，$\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 是具有充分光滑边界 $\partial\Omega$(例如 $C^1$ 类)的非空有界开集，且 $\mathcal{D}$、$\mathcal{N}$ 为 $\mathbb{R}^n\setminus{\bar{\Omega }}$ 的开子集，满足 $\overline{{\mathcal{D}} \cup {\mathcal{N}}}= \mathbb{R}^n\setminus{\Omega}$，$\mathcal{D} \cap {\mathcal{N}}= \emptyset$，且 $\Omega\cup \mathcal{N}$ 是具有充分光滑边界的有界集，$\lambda >0$ 为实数参数，且 $\mathcal{L}= -\Delta+(-\Delta)^{s},~ \text{for}~s \in (0, 1)$。