混合分数阶非线性叠加算子的谱分析、最大原理与形状优化

本文的主要目标是研究由混合分数阶算子连续叠加构成的广泛类非线性“叠加算子”，这些算子由单位区间上的测度调制。该框架包含作为特殊情形的混合局部与非局部算子，如 $-\Delta_p+(-\Delta_p)^s$、不同阶数的分数 $p$ - 拉普拉斯算子的有限（可能为无限）求和，以及涉及“错误符号”分数拉普拉斯算子的算子。通过变分技术，本文的主要结果关注一般叠加算子关联的Dirichlet特征值问题的谱分析，特别强调第一特征值的各种性质及其对应的特征函数。我们通过引入适当的“非局域尾部”概念并推导对数估计，建立了正性叠加算子的弱最大原理和强最大原理，这些都具有独立的兴趣。利用这些新开发的工具，我们进一步研究了此类叠加算子的谱性质，证明第一特征值是孤立的且唯一的。此外，我们证明对应正特征值的特征函数是全局有界的，以及它们在关联更高特征值时会改变符号。最后，我们证明第二特征值是明确的，并提供山脊通过刻画。最后，我们解决形状优化问题，特别是与叠加算子相关的主频率的Faber-Krahn不等式。