一维与二维格点上离散薛定谔算符的束缚态

我们研究离散薛定谔算符 $$\widehat H_\mu=\widehat H_0 + \mu \widehat{V},\qquad \mu\ge0,$$ 的谱性质，该算符联系于 $d$ 维格点 $\mathbb{Z}^d$ 上的单粒子系统，$d=1,2$，其中未扰动算符 $\hat H_0$ 是由 $\hat e:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{C}$ 生成的自伴 Laurent-Toeplitz 型算符，势 $\hat V$ 是由 $\hat v:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{R}$ 给出的乘法算符。在对 $\hat e$ 的一定正则性假设以及对 $\hat v$ 的衰减假设下，我们确立了 $\hat H_\mu$ 本征值的存在性或不存在性以及有限性。此外，在存在的情况下，我们研究了当 $\mu\searrow 0$ 时 $\hat H_\mu$ 本征值的渐近行为。