双尺度相互作用的 Schr"{o}dinger 算子谱论

形如 $\Delta - W$ 的 Schr"{o}dinger 算子作用于 $L^2_{\text{rad}}(\mathbb{R}^3)$，即径向对称的平方可积函数的空间，在 various 物理情境中具有重要意义。势函数 $W$ 取为径向对称函数（即 $W(x) = W(|x|)$），并分解为两个具有不同空间尺度的分量：$W=W_\varepsilon= V_0+V_{1,\varepsilon}$。第二个分量 $V_{1,\varepsilon}(|x|) = \varepsilon^2V_1(\varepsilon |x|)$ 表示一个随 $\varepsilon \to 0$ 而变得越来越稀疏的缩放势。我们假设势函数 $V_0(r), V_1(r)$ 在 $r \to \infty$ 时具有特定的衰减性质。我们展示了正实轴上特征值计数如何由两个简化特征值问题在各自尺度上的谱组成。结果表明，$\Delta - W$ 的特征值总数等于 $\Delta - V_0$ 和 $\Delta - V_1$ 上正特征值的个数之和。我们的分析结合了动力系统技术与尺度分离论证，为研究多尺度相互作用下微分算子谱性质提供了一种新框架。