分数布朗环境中的安德森聚合物：配分函数的渐近行为

我们考虑安德森聚合物配分函数 $$u(t):=\mathbb{E}^X\Bigl[e^{\int_0^t \mathrm{d}B^{X(s)}_s}\Bigr]\,,$$ 其中 $\{B^{x}_t\,;\, t\geq0\}_{x\in\mathbb{Z}^d}$ 是一族独立的分数布朗运动，其 Hurst 参数均为 $H\in(0,1)$，而 $\{X(t)\}_{t\in \mathbb{R}^{\geq 0}}$ 是 $\mathbb{Z}^d$ 上以跳跃率 $\kappa$ 从原点出发的连续时间简单对称随机游走。$\mathbb{E}^X$ 是关于该随机游走的期望。我们证明当 $H\leq 1/2$ 时，函数 $u(t)$ 几乎必然渐近增长如 $e^{l t}$，其中 $l>0$ 为一个确定性常数。更精确地，我们表明当 $t$ 趋于 $+\infty$ 时，表达式 $\{\frac{1}{t}\log u(t)\}_{t\in \mathbb{R}^{>0}}$ 在几乎必然意义下和在 $\mathcal{L}^1$ 意义下均收敛到某个确定性常数 $l>0$。对于 $H>1/2$，我们首先证明 $\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\log u(t)$ 在几乎必然意义下和在 $\mathcal{L}^1$ 意义下均存在，且等于一个严格为正的确定性常数（可能为 $+\infty$）；因此几乎必然地 $u(t)$ 渐近增长至少如 $e^{a t}$，其中 $a>0$ 为某个确定性常数。另一方面，我们也证明在几乎必然意义下和在 $\mathcal{L}^1$ 意义下，$\limsup_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t\sqrt{\log t}}\log u(t)$ 是一个确定性的有限实数（可能为零），从而证明几乎必然地 $u(t)$ 渐近增长至多如 $e^{b t\sqrt{\log t}}$，其中 $b>0$ 为某个确定性常数。最后，对于 $H>1/2$ 且将 $\mathbb{Z}^d$ 替换为赋予 Hölder 连续协方差函数的圆周的情形，我们证明 $\limsup_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\log u(t)$ 是一个有限的确定性正数，从而证明几乎必然地 $u(t)$ 渐近增长至多如 $e^{c t}$，其中 $c>0$ 为某个确定性常数。