分数布朗运动积分的单边小偏差

我们考虑高斯随机过程 $x(t)$、 $x(0)=0$ 在大的时间区间 $(0,T)$、 $T\gg 1$ 上不超过固定正水平的样本轨道。此类事件的概率 $p(T)$ 通常是在 $\infty$ 处以指数 $\theta$ 为正则变化函数。在应用中该参数可提供关于从属于 $x(\cdot)$ 的过程的分形性质的信息。因此 $\theta$ 的估计是一个重要的理论问题。此处，我们考虑导数为零均值自相似参数 $0<H<1$ 的分数布朗运动的过程 $x(t)$。对此情形我们给出支持关系 $\log p(T)=-\theta \log T(1+o(1))$ 与 $\theta =H(1-H)$ 的新计算证据。在 $0.1\le H\le 0.9$ 范围内 $\theta$ 的估计误差在 0.01 以内。该问题的解析结果仅对马尔可夫情形即 $H=1/2$ 已知。我们指出 $x(t)$ 的其他统计量，其小值的概率在对数尺度上与 $p(T)$ 同阶。