非线性 Cauchy 问题的精确线性表示及其光滑解

本文建立了非线性偏微分方程（Cauchy 问题）存在精确线性表示的条件。通过引入某个线性算子 $A$，表明在这些条件下存在三个等价方程（一个线性和两个非线性），而形式算子解对三者是共同的，并且是将所求函數 $v(t,x)$ 展开为形式 Taylor 级数。利用 Borel-Whitney 引理（该引理指出任意光滑函数 $v(t,x)$ 在一点邻域内由其形式 Taylor 级数确定），我们得到如下结论：若算子 $A$ 的所有参数均为光滑函数，则存在一个光滑函数 $\tilde{v}(t,x)$，其在 $t=0$ 时与 $v(t,x)$ 具有相同的幂级数展开，且该函数解出所有等价方程。Navier-Stokes 与 Euler 方程作为此方法非平凡的示例被考虑。